CBSE Segment

A lot of experiments have been done in teaching techniques. Class-room teaching has been augmented by various types of additional activities (for individuals and for groups of students). But, we still find (CBSE) students taking help from teachers/tutors and coaching schools beyond regular school hours.

CBSE segment is an experiment to try out e-learning at school level. It is not limited to CBSE though. We chose to mention CBSE only to emphasize that for content and tests we'd stay close to the CBSE curriculum.

In this segment, we are trying to find out -

• how we can develop a networked e-learning environment that enables students and educators to meet some of the requirements that forces them to work after hours,
• how such an environment will really benefit the large CBSE teacher and student community,
• how we can get educators interested in contributing to this segment, and
• how much content and tests must be provisioned to attain a critical mass which will trigger sustained learning activities at this site.

हिंदी

इस खंड में हम हिंदी की पाठ्यपुस्तकों से सम्बंधित सामग्री रखेंगे. हिंदी में टाइप करने के लिए आप 0sEd का प्रयोग कर सकते हैं. ध्यान रहे कि HTML एडिटर में आप केवल यूनिकोड में टाइप किये गए टेक्स्ट को ही कॉपी-पेस्ट कर सकते हैं.

यहाँ संकलित सामग्री सामान्य प्रयोग के आलावा वर्चुअल कैम्पस 0sILE में दिए जानेवाले कोर्स में भी किया जा सकता है. संकलित सामग्री पाठ्यक्रम के अनुरूप होनी चाहिए.

कृपया विद्यार्थियों के लिए उपयोगिता को ध्यान में रखते हुए सामग्री का संकलन करें.

अधिकतर पृष्ठ अपूर्ण हो सकते हैं. अवसर मिलने पर भाग लेने वाले लेखक योगदान करेंगे और यहाँ संकलित सामग्री लगातार बढ़ेगी ऐसी अपेक्षा है.

हिंदी व्याकरण

CBSE पाठ्यक्रम के अनुसार, विद्यार्थियों को व्याकरण के निम्नलिखित बिन्दुओं से परिचित होना चाहिए -

• संज्ञा, सर्वनाम, विशेषण, क्रिया, क्रियाविशेषण.
• लिंग, वचन, काल
• पदबंध में लिंग और वचन का विशेषण पर प्रभाव
• वाक्य में कर्त्ता और कर्म के लिंग और वचन का क्रिया पर प्रभाव
• परसर्ग 'ने' का क्रिया पर प्रभाव
• अकर्मक, सकर्मक, द्विकर्मक, प्रेरणार्थक क्रिया
• सरल, संयुक्त, मिश्र वाक्य
• कर्तृवाच्य, कर्मवाच्य
• समुच्चयबोधक शब्द और अन्य अविकारी शब्द
• पर्यायवाची, विलोम, समास, अनेकार्थी, श्रुतिसमभिन्नार्थक शब्द, मुहावरे

कोई पाठ्यपुस्तक प्रस्तावित नहीं लगती. विद्यार्थी सुविधानुसार किसी भी पाठ्यपुस्तक का प्रयोग कर सकते हैं. यहाँ संकलित सामग्री विद्यार्थियों के आलावा अन्य जिज्ञासुओं के लिए भी उपयोगी होगी.

भाषा

भाषा

हाथ, झंडी, बत्ती आदि से किए गए संकेतों, या सीटी के मध्यम से किए गए संकेतों से अलग, मानव मुख से निकले ध्वनि-संकेत (भावों या विचारों की) अभिव्यक्ति का मुख्य मध्यम हैं.

भाषा इन ध्वनि संकेतों की एक व्यवस्था है. यह व्यवस्था ध्वनियों के उच्चारण, शब्दों एवं पदों की रचना तथा वाक्यों की रचना में मिलती है. (उदाहरण - हिन्दी में ध्वनि विषयक व्यवस्था के अनुसार 'प्क', 'प्त' जैसे व्यंजन समूह से शब्द का आरम्भ नहीं होता है, जबकि 'प्य', 'प्र' ['प्यासा', 'प्रेम'] से हो सकता है.)

भाषा की अभिव्यक्ति के दो रूप हैं - मौखिक और लिखित. मौखिक रूप व्यक्ति के जीवन और समाज के विकास क्रम मैं पहले आता है और लिखित रूप बाद में आता है. मौखिक रूप हमें प्राकृतिक रूप से सहज ही प्राप्त हुआ लगता है, जबकि लिखित रूप को सीखने में विशेष प्रयत्न की आवश्यकता पड़ती है. लेखन क्रिया केवल एक युक्ति है, जिससे भाषा का उच्चरित रूप दृश्य संकेतों के प्रतीक-चिह्नों द्वारा अंकित किया जाता है.

ध्वनियों को अंकित करने के लिए निश्चित किए गए चिह्नों की व्यवस्था को लिपि कहते हैं. हिन्दी भाषा की चिह्न व्यवस्था को 'देवनागरी' लिपि कहते हैं. 'देवनागरी' लिपि-चिह्नों का ज्ञान ही हिन्दी का अक्षर-ज्ञान है.

भाषा के मौखिक और लिखित रूप की सुनिश्चित व्यवस्था इसके व्यवहार में नियमितता और मानकता लाती है. व्याकरण भाषा के नियमों का संकलन और विश्लेषण करता है. शैक्षिक व्याकरण इन नियमों को स्थिर करता है और भाषा को परिनिष्ठित बनाने में सहायक होता है. व्याकरण भाषा के नियम नहीं बनाता, बल्कि वह प्रचलित भाषा-प्रयोग को आधार मानकर उसका विश्लेषण करता है, समाज द्वारा सिद्ध प्रयोग का अनुसरण करता हुआ भाषा के स्वीकार्य एवं अस्वीकार्य रूपों में भेद करने में सहायता करता है.

व्याकरण में भाषा का विश्लेषण कई स्तरों पर किया जाता है -

वर्ण विचार

वर्ण विचार

मनुष्य की वागिन्द्रिय द्वारा व्यक्त भाषा की सबसे छोटी पहचानी जा सकने वाली इकाई ध्वनि है. हिन्दी व्याकरण में इस ध्वनि के लिखित रूप को वर्ण कहा जाता है. वर्ण को इसीलिए ध्वनि-चिह्न भी कहते हैं. ध्वनि-भेद नहीं होने पर भी वर्ण-भेद हो सकता है. ऐसा दो भाषाओं के ध्वनि-चिह्नों में अन्तर के कारण होता है. जैसे, अंग्रेजी का "inch" और हिन्दी का "इंच".

उच्चारण के दो मुख्य घटक हैं - स्वर और व्यंजन. वर्णों का निर्माण इन्हीं दो घटकों से होता है.

वर्ण हिन्दी के मौखिक और लिखित दोनों रूपों को व्यक्त करते हैं. हिन्दी वर्णों की लिपि (लिखे जाने वाले चिह्न) को 'देवनागरी' लिपि कहते हैं.

जिन वर्णों का उच्चारण बिना अवरोध अथवा विघ्न-बाधा के होता है, उन वर्णों को स्वर कहते हैं. ये स्वतंत्र होते हैं. इनके उच्चारण में किसी दूसरे वर्ण की सहायता नहीं ली जाती है.

जबकि व्यंजन वे वर्ण हैं जिनका उच्चारण स्वर के बिना नहीं हो सकता.

स्वरवर्ण

स्वर ग्यारह (११) हैं. स्वरों के उच्चारण में सामान्यतः कंठ या तालू का प्रयोग होता है, जीभ या होठ का नहीं. (अपवाद - 'उ' और 'ऊ' के उच्चारण में होठों का प्रयोग होता है.)

उच्चारण के कालमान को 'मात्रा' कहते हैं.

कालमान के अनुसार स्वरों के दो प्रकार हैं:

संयुक्त स्वर

दीर्घ स्वरों में से ए, ऐ, ओ, औ संयुक्त स्वर हैं.

• ये दो भिन्न स्वरों से बनती हैं. जैसे - 'अ' + 'इ' = 'ए', 'अ' + 'ए' = 'ऐ', 'अ' + 'उ' = 'ओ', 'अ' + 'ओ' = 'औ'. इनके उच्चारण में भी काल की दो मात्राएँ लगती हैं.
• इन स्वरों में से ए तथा ऐ तथा औ का उच्चारण संध्यक्षर रूप में भी है, जैसे 'ऐ' संध्यक्षर में अ+इ का और 'औ' में अ+उ का संयुक्त रूप है. जब 'ऐ' के बाद 'य' या तथा 'औ' के बाद 'व' आते हैं तब घटक स्वरों का उच्चारण होता है, जैसे:

भैया = भइया नैया = नइया

कौवा = कउवा हौवा = हउवा

स्वरों के भेद

जाति के अनुसार स्वरों के दो भेद हैं:

• सजातीय या सवर्ण - समान स्थान और प्रयत्न से उत्पन्न होने वाले स्वरों को सजातीय कहते हैं. जैसे - 'अ'-'आ', 'इ'-'ई', 'उ'-'ऊ' जोड़े सजातीय हैं.
• विजातीय या असवर्ण - जिन स्वरों के स्थान और प्रयत्न एक से नहीं होते , वे विजातीय स्वर कहलाते हैं. जैसे - 'अ'-'ई'', 'अ'-'ऊ', 'ई'-'ऊ' आदि जोड़े विजातीय हैं.

Physics

This section is for CBSE Physics textbook related stuff as well as for general articles useful for school students.

The obvious guidelines are that the content:

• should be useful for 10+2 or equivalent students,
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Time-saving summary from Irodov's book "Problems in General Physics"

The "time-saving summary of the principal formulas for the relevant area of physics" are being presented here for convenience.

I hope that users will find 0sNotes very useful in making notes with explanation, examples and problems.

Kinematics

• Average vectors of velocity ($\vec{v}$) and acceleration ($\vec{a}$) of a point: $$\langle\vec{v} \rangle = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}, \langle\vec{a} \rangle = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t},$$where $\Delta\vec{r}$ is the displacement vector (an increment of a radius vector).
• Velocity and acceleration of a point: $$\vec{v} = \frac{d \vec{r}}{d t}, \vec{a} = \frac{d \vec{v}}{d t}.$$
• Acceleration of a point expressed in projections on the tangent and the normal to a trajectory: $$a_{\parallel} = \frac{d v_{\parallel}}{d t}, a_{\perp} = \frac{v^2}{R},$$ where $R$ is the radius of curvature of the trajectory at the given point.
• Distance covered by a point: $$s = \int v dt,$$ where $v$ is the modulus of the velocity vector of a point.
• Angular velocity and angular acceleration of a solid body: $$\vec{\omega} = \frac{d \vec{\phi}}{dt}, \vec{\alpha} = \frac{d\vec{\omega}}{dt}.$$
• Relations between linear and angular quantities for a rotating solid body: $$ \vec{v} = \vec{\omega}\times \vec{r}, \omega_{\perp} = \omega^2 R, |\omega_\parallel| = \alpha,$$ where $\vec{r}$ is the radius vector of the considered point relative to an arbitrary point on the rotation axis.

 

The Fundamental Equation of Dynamics

• The fundamental equation of dynamics of a mass point (Newton's second law): $$ m \frac{d\vec{v}}{d t} = \vec{F}.$$
• The same equation expressed in projections on the tangent and the normal of the point's trajectory: $$ m \frac{d v_{\parallel}}{d t} = F_\parallel, m \frac{v^2}{R} = F_\perp.$$
• The equation of dynamics of a point in the non-inertial reference frame $K^\prime$ which rotates with a constant angular velocity $\vec{\omega}$ about an axis translating with an acceleration $\vec{a_0}$: $$m\vec{a^\prime} = \vec{F} - m \vec{a_0} + m \omega^2 \vec{R} + 2 m \vec{v^\prime} \times \vec{\omega},$$ where $\vec{R}$ is the radius vector of the point relative to the axis of rotation of the $K^\prime$ frame.

Laws of Conservation of Energy, Momentum, and Angular Momentum

Work and power of the force $\vec{F}$: $$W = \int \vec{F}.d\vec{r} = \int F_s ds, P = \vec{F}.\vec{v}$$

Increment of the kinetic energy of a particle: $$T_2 - T_1 = W,$$ where $W$ is the work performed by the resultant of all the forces acting on the particle.

• Work performed by the forces of a field is equal to the decrease of the potential energy of a particle in the given field: $$ W = U_1 - U_2.$$
• Relationship between the force of a field and the potential energy of a particle in the field: $$\vec{F} = -\vec{\nabla} U,$$ i.e. the force is equal to the anti-gradient of the potential energy.
• Increment of the total mechanical energy of a particle in a given potential field: $$ E_2 - E_1 = W_{extr},$$ where $W_{extr}$ is the algebraic sum of works performed by all extraneous forces, that is, by the forces not belonging to those of the given field.
• Increment of the total mechanical energy of a system: $$E_2 - E_1 = W_{ext} + W_{int}^{noncons},$$ where $E = T + U$, and $U$ is the inherent potential energy of the system.
• Law of momentum variation of a system: $$\frac{d\vec{p}}{dt} = \vec{F},$$ where $\vec{F}$ is the resultant os all external forces.
• Equation of motion of the system's center of inertia: $$m \frac{d \vec{v_C}}{dt} = \vec{F},$$ where $\vec{F}$ is the resultant os all external forces.
• Kinetic energy of a system:$$T = \widetilde{T} + \frac{m v_C^2}{2},$$ where $\widetilde{T}$ is its kinetic energy in the system of center of intertia.
• Equation of dynamics of a body with variable mass: $$m \frac{d \vec{v}}{dt} = \vec{F} + \frac{d m}{dt} \vec{u},$$ where $\vec{u}$ is the velocity of the separated (gained) substance relative to the body considered.
• Law of angular momentum variation of a system: $$\frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{\tau},$$ where $\vec{L}$ is the angular momentum of the system, and $\vec{\tau}$ is the total moment of all external forces.
• Angular momentum of a system: $$\vec{L} = \widetilde{\vec{L}} + \vec{r_C}\times\vec{p},$$ where $\widetilde\vec{L}$ is its angular momentum in the system of the center of inertia, $\vec{r_C}$ is the radius vector of the center of inertia, and $\vec{p}$ is the momentum of the system.

 

Universal Gravitation

• Univesal gravitation law: $$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$$
• The squares of the periods of revolution of any two planets around the Sun are proportional to the cubes of the major semiaxes of their orbits (Kepler): $$T^2 \propto a^3$$
• Strength $\vec{f}$ and potential $V$ of the gravitational field of a mass point: $$\vec{f} = -G \frac{m}{r^3}\vec{r}, \; V = -G \frac{m}{r}$$
• Orbital and escape velocities: $$v_1 = \sqrt{gR}, \; v_2 = \sqrt{2} v_1$$

Dynamics of a Solid Body

• Equation of dynamics of a solid body rotating about a stationary axis $z$: $$I \beta_z = N_z,$$ where $N_z$ is the algebraic sum of the moments of external forces relative to the $z$ axis.
• According to Steiner's theorem: $$ I = I_C + m a^2.$$
• Kinetic energy of a solid body rotating about a stationary axis: $$T = \frac{1}{2}I \omega^2.$$
• Work performed by external forces during the rotation of a solid body about a stationary axis: $$A = \int N_z d\phi.$$
• Kinetic energy of a solid body in plane motion: $$T = \frac{I_C \omega^2}{2} + \frac{mv_C^2}{2}.$$
• Relationship between the angular velocity $\vec{\omega^\prime}$ of a gyroscope precession, its angular momentum $\vec{M}$ equal to $I \vec{\omega}$, and the moment $\vec{N}$ of the external forces: $$\vec{\omega^\prime} \times \vec{M} = \vec{N}.$$

Elastic Deformations of a Solid Body

• Relation between tensile (compressive) strain $\epsilon$ and stress $\sigma$: $$\epsilon = \frac{\sigma}{E},$$ where $E$ is Young's modulus.
• Relation between lateral compressive (tensile) strain $\epsilon^\prime$ and longitudinal tensile (compressive) strain $\epsilon$: $$\epsilon^\prime = - \mu \epsilon,$$ where $\mu$ is Poisson's ratio.
• Relation between shear strain $\gamma$ and tangential stress $\tau$: $$\gamma = \frac{\tau}{G},$$ where $G$ is shear modulus.
• Compressibility: $$\beta = - \frac{1}{V}\frac{dV}{dp}.$$
• Volume density of elastic strain energy: $$u = \frac{E\epsilon^2}{2}, \; u = \frac{G \gamma^2}{2}.$$

 

Hydrodynamics

• The fundamental equation of hydrodynamics of ideal fluid (Eulerian equation): $$ \rho \frac{d\vec{v}}{dt} = \vec{f} - \vec{\nabla} p,$$ where $\rho$ is fluid density, $\vec{f}$ is the volume density of mass forces ($!\vec{f} = \rho \vec{g}$ in the case of gravity), $\vec{\nabla} p$ is the pressure gradient.
• Bernoulli's equation. In the steady flow of an ideal fluid $$\frac{\rho v^2}{2} + \rho g h + p = const$$ along any streamline.
• Reynolds number defining the flow pattern of a viscous fluid: $$Re = \frac{\rho v l}{\eta},$$ where $l$ is a characteristic length, $\eta$ is the fluid viscosity.
• Poiseuille's law. The volume of liquid flowing through a circular tube (in $m^3/s$): $$Q = \frac{\pi R^4}{8\eta} \frac{p_1 - p_2}{l},$$ where $R$ and $l$ are the tube's radius and length, $p_1 - p_2$ is the pressure difference between the ends of the tube.
• Stokes' law. The friction force on the sphere of radius $r$ moving through a viscous fluid: $$F = 6\pi\eta r v.$$

 

Relativistic Mechanics

• Lorentz contraction of length and slowing of a moving clock: $$l = l_0 \sqrt{1 - (v/c)^2}, \; \Delta t = \frac{\Delta t_0}{\sqrt{1 - (v/c)^2}},$$ where $l_0$ is the proper length and $\Delta t_0$ is the proper time of the moving clock.
• Lorentz transformation^*: $$ x^\prime = \frac{x - Vt}{\sqrt{1 - (V/c)^2}}, \; y^\prime = y, \; t^\prime = \frac{t-x V/c^2}{1-(V/c)^2}.$$
• Interval $s_{12}$ is an invariant: $$s^2_{12} = c^2 t^2_{12} - l^2_{12} = inv,$$ where $t_{12}$ is the time interval between events 1 and 2, $l_{12}$ is the distance between the points at which these events occurred.
• Transformation of velocity^*: $$v_x^\prime = \frac{v_x - V}{1-v_x V/c^2}, \; v_y^\prime = \frac{v_y \sqrt{1 - (V/c)^2}}{1 - v_x V/c^2}.$$
• Relativistic mass and relativistic momentum: $$m = \frac{m_0}{\sqrt{1-(v/c)^2}}, \; \vec{p} = m \vec{v} = \frac{m_0 \vec{v}}{\sqrt{1-(v/c)^2}},$$ where $m_0$ is the rest mass, or, simply, the mass.
• Relativistic equation of dynamics for a particle: $$\frac{d\vec{p}}{dt} = \vec{F},$$ where $\vec{p}$ is the relativistic momentum of the particle.
• Total and kinetic energies of a relativistic particle: $$E = mc^2 = m_0 c^2 + T, \; T = (m-m_0)c^2.$$
• Relationship between the energy and momentum of a relativistic particle $$E^2 - p^2c^2 = m_0^2 c^4, \; pc = \sqrt{T(T+2m_0 c^2)}.$$
• When considering the collisions of particles it helps to use the following invariant quantity: $$E^2 - p^2c^2 = m_0^2 c^4,$$ where $E$ and $p$ are the total energy and momentum of the system prior to the collision, and $m_0$ is the rest mass of the particle (or the system) formed.

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^* The reference frame $!K^\prime$ is assumed to move with a velocity $V$ in the positive direction of the $x$ axis of the frame $K$, with the $!x^\prime$ and $x$ axes coinciding and the $!y^\prime$ and $y$ axes parallel.

Equation of the Gas State. Processes

Ideal gas law: $$pV = \frac{m}{M}RT,$$ where $M$ is the molar mass.

Barometric formula: $$ p = p_0 e^{-Mgh/RT},$$ where $p_0$ is the pressure at the height $h = 0$.

Van der Waals equation of the gas state (for a mole): $$\left(p+\frac{a}{V_M^2}\right) \left(V_M - b\right) = RT,$$ where $V_M$ is the molar volume under given $p$ and $T$.

 

The First Law of Thermodynamics. Heat Capacity

• The first law of thermodynamics: $$Q = \Delta U + A,$$ where $\Delta U$ is the increment of the internal energy of the system.
• Work performed by gas: $$A = \int pdV.$$
• Internal energy of an ideal gas: $$ U = \frac{m}{M}C_V T = \frac{m}{M} \frac{RT}{\gamma - 1} = \frac{pV}{\gamma - 1}.$$
• Molar heat capacity in a polytropic process ($!pV^n = const$): $$ C = \frac{R}{\gamma -1} - \frac{R}{n-1} = \frac{(n-\gamma)R}{(n-1)(\gamma-1)}.$$
• Internal energy of one mole of a Van der Waals gas: $$U = C_V T - \frac{a}{V_M}.$$

Kinetic Theory of Gases. Boltzmann's Law and Maxwell's Distribution

• Number of collisions exercised by gas molecules on a unit area of the wall surface per unit time: $$\nu = \frac{1}{4} n \langle v \rangle,$$ where $n$ is the concentration of molecules, and $\langle v \rangle$ is their mean velocity.
• Equation of an ideal gas state: $$ p = nkT.$$
• Mean energy of molecules: $$\langle\epsilon\rangle = \frac{i}{2} kT,$$ where $i$ is the sum of translational, rotational, and the double number of vibrational degrees of freedom. 
• Maxwellian distribution: $$dN (v_x) = N \left(\frac{m}{2\pi k T}\right)^{1/2} e^{-m v_x^2/2kT}dv_x,$$ $$dN(v) =  N \left(\frac{m}{2\pi k T}\right)^{3/2} e^{-m v^2/2kT} 4\pi v^2 dv.$$
• Maxwellian distribution in a reduced form: $$dN(u) = N \frac{4}{\sqrt{\pi}} e^{-u^2} u^2 du,$$ where $!u = v/v_p$, $v_p$ is the most probable velocity.
• The most probable, the mean, and the root mean square velocities of molecules: $$v_p = \sqrt {2 \frac{kT}{m}}, \; \langle v \rangle = \sqrt{\frac{8}{\pi}\frac{kT}{m}}, \; v_{sq} = \sqrt{3 \frac{kT}{m}.$$
• Boltzmann's formula: $$n = n_0 e^{-\left(U-U_0\right)/kT}, $$ where $U$ is the potential energy of a molecules.

 

The Second Law of Thermodynamics. Entropy

• Heat engine efficiency: $$ \eta = \frac{A}{Q_1} = 1 - \frac{Q_2^\prime}{Q_1},$$ where $Q_1$ is the heat obtained by the working substance, $Q_2^\prime$ is the heat released by the working substance.
• Efficiency of a Carnot cycle: $$\eta = \frac{T_1 - T_2}{T_1},$$ where $T_1$ and $T_2$ are the temperatures of the hot and cold bodies respectively.
• Clausius inequality: $$\oint \frac{\delta Q}{T} \leqslant 0,$$ where $\delta Q$ is the elementary amount of heat transferred to the system ($\delta Q$ is an algebraic quantity).
• Entropy increment of a system: $$ \Delta S \geqslant \int \frac{\delta Q}{T}.$$
• Fundamental relation of thermodynamics: $$ T dS \geqslant dU + pdV.$$
• Relation between the entropy and the statistical weight $\Omega$ (the thermodynamic probability): $$S = k \ln \Omega,$$ where $k$ is the Boltzmann constant.

Liquids. Capillary Effects

 

Phase Transformations

• Relations between Van der Waals constants and the parameters of the critical state of a substance: $$V_{M\,cr} = 3b, \; p_{cr} = \frac{a}{27b^2}, \; T_{cr} = \frac{8a}{27Rb}.$$
• Relation between the critical parameters for a mole of substance: $$p_{cr} V_{M\, cr} = (3/8)RT_{cr}.$$
• Clausius-Clapeyron equation: $$\frac{dp}{dT} = \frac{q_{12}}{T\left(V_2^\prime - V_1^\prime\right)},$$ where $q_{12}$ is the specific heat absorbed in the transformation $1 \rightarrow 2$, $V_1^\prime$ and $V_2^\prime$ are the specific volumes of phases $1$ and $2$.

Transport Phenomena

• Relative number of gas molecules traversing the distance $s$ without collisions: $$ N/N_0 = e^{-s/\lambda},$$ where $\lambda$ is the mean free path.
• Mean free path of a gas molecule: $$ \lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \pi d^2 n},$$ where $d$ is the effective diameter of a molecule, and $n$ is the number of molecules per unit volume.
• Coefficients of diffusion $D$, viscosity $\eta$, and heat conductivity $\varkappa$ of gases: $$D = \frac{1}{3}\langle v\rangle \lambda,\; \eta = \frac{1}{3}\langle v\rangle \lambda \rho,\; \varkappa = \frac{1}{3}\langle v\rangle \lambda \rho c_V,$$ where$\rho$ is the gas density, and $c_V$ is its specific heat capacity at constant volume.
• Friction force acting on a unit area of plates during their motion parallel to each other in a highly rarefied gas: $$F = \frac{1}{6} \langle v \rangle \rho \left | u_1 - u_2 \right |,$$ where $u_1$ and $u_2$ are the velocities of the plates.
• Density of a thermal flux transferred between two walls by highly rarefied gas: $$ q = \frac{1}{6} \langle v \rangle \rho c_V \left | T_1 - T_2 \right |,$$ where $T_1$ and $T_2$ are the temperatures of the walls.